TL;DR
传统的恒定函数做市商们 (CFMMs) 不太适合预测市场等应用。它们与时间无关，这意味着没有预测市场所需的流动性分布调整和流动性提供者保护。
在本文中，我们提出了一种与 YieldSpace 形式类似的与时间有关的 AMM，随着时间接近到期，它会将流动性分散到“边缘”。这导致在任何时候都有最低数量的 YES 和 NO 储量，从而保护流动性提供者。
我们称之为 ProbabilitySpace。
YieldSpace 的目标是在给定储量比率的情况下对恒定利率进行定价，而 ProbabilitySpace 则试图根据随机过程的波动性和时间对 YES 和 NO 的概率进行定价。
1. AMM 的推导
我们希望随着时间的临近到期，AMM 将流动性分散到 100% YES 和 100% NO。
这里我们选择 YES 和 NO 概率来遵循二元期权，YES 和 NO 储量比率的自然对数服从正态分布。
YES 和 NO 的概率应该随着时间的推移而增加或减少。
NO 的概率可以表示为：
其中 N(d) 是正态分布 N(0,1) 的 CDF（累积分布函数）。
我们还可以将第一个等式写成：
这意味着价格，作为 NO 和 YES 概率的比率，随着时间接近到期而增加到无穷大或减少到零。
使用 这篇论文 中的近似公式，我们可以进行单参数和双参数近似，这使得微分方程更容易求得解析解。
单参数近似
将 N(d) 近似为：
不失一般性，令
则
因此，在时间 t 时
双参数近似
将 N(d) 近似为：
不失一般性，令
则
二阶近似生成的微分方程也难以求解。因此，本文的其余部分，我们使用单参数近似。
我们得到的 AMM：
看起来与 YieldSpace 非常相似，只是 t 被 1/sqrt(t) 替代。
2. 流动性指纹
我们可以使用 这篇文章 中的技巧分析流动性分布的演化，衡量每个价格 tick 间的流动性。
AMM 的实时价格为：
y 可以被写成关于 P 的函数：
P 可以用价格 tick 来表达：
因此
📌 Desmos 链接: https://www.desmos.com/calculator/xozkru6lwz
正如我们从 Desmos 里看到的那样，随着时间在 0 处到期，AMM 按照我们预期的那样将流动性分散到了 100% YES 和 100% NO。
3. 非常数的 s
上述计算假设 s 随着时间的推移保持不变。
仅当 x 和 y 保持在 s 时才保持不变。
例如, 如果 x = 2, y = 1：
当 t = 0.5, s = ~1.38
当 t = 0.25, s = ~1.33
因此，我们在这里讨论 s 不恒定时 AMM 的演化。
具体来说，我们将 x 在 t = t0 的价格定义为 P0，将 s 在 t = t0 的值定义为 s0。
使用以上两个公式，我们可以求解 x0 和 y0 ：
假设当 t < t0， x = x0, y = y0。
然后我们可以将 s 表示为 t 的函数：
代入 x0 和 y0，求解 s：
将 s 代入以下等式：
📌 Desmos 链接: https://www.desmos.com/calculator/6j6hpobjph
随着时间的推移，AMM 趋于扁平，这表明无论如何，至少有一定的 YES 和 NO 储量，保护了流动性提供者。
4. xmin 和 ymin
xmin 和 ymin 指的是 AMM 实时的允许的 YES 和 NO 储量的最小数量。
假设当 t < t0， x = x0, y = y0。
如果 t ＞= 1, xmin = ymin = 0。
如果 t < 1,
可 swap 出的最大数量：
当 t = 0，
因为 AMM 会穿过 (x0,y0)。
5. 流动性提供者保护
由于 AMM 设计的时间演化，流动性提供者会受到保护：
-
随着时间接近到期，价格会变得更差。
-
有最低数量的 YES 和 NO 储量不能换出。
假设当 t < t0, x = x0, y = y0。
% 被保护
如果最终结果是 YES，
如果最终结果是 NO，
散发损失 (几何意义上的)
假设在时间 t 发生的交易使价格从 P 变为 Pk。
因此，
散发损失 (实际上的)
假设在时间 t 发生的交易使价格从 P 变为 Pk。
这是自 t0 以来的第一笔交易，也是到期前的最后一笔交易。
如果最终结果是 YES，
如果最终结果是 NO，
📌 Desmos 链接: https://www.desmos.com/calculator/t8e7bp3fw5
这个 Desmos 绘制了关于 t 和 k 的实际上的散发损失。随着时间接近到期，实际散发损失会减少。
6. Balancer 权重方法
可以通过数学方式生成相似的 AMM，它们的演化类似于我们上面推导出的 AMM。
在 Balancer 里，
因此我们可以选择调整权重以满足：
单参数近似
如果我们令在指数上的 y/x 为常数，
如果指数上的 y/x 变化，
我们假设 AMM 在 t < t0 时穿过（x0, y0）。
第二个指数上 y/x 变化的函数，表现非常类似于：
然而，这两个函数不满足关系 -dy/dx = (y/x) ^ (1/sqrt (t))。具体来说，第一个函数只在 (x0, y0) 处满足。
📌Desmos 链接: https://www.desmos.com/calculator/yb27o12cxd
感谢 Dan Robinson 提出这个想法，感谢 ayko2718、0xKaden、Allan Niemerg 和 Vanessa Tso 提供的有益讨论和反馈。